Goods-finder.ru

Финансовый аналитик
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Наращение инвестиций по схеме простых процентов

Области применения простых и сложных процентов

Введение

Инвестиции – важнейший и наиболее дефицитный экономический ресурс, использование которого способствует росту эффективности производства и конкурентоспособности предприятий, созданию новых рабочих мест, повышению занятости населения и уровня его благосостояния. Успешная деятельность предприятий в долгосрочной перспективе, обеспечение высоких темпов их развития в значительной степени определяются уровнем инвестиционной активности и масштабами инвестиционной деятельности, расширение которой требует создания специальных условий, и в первую очередь увеличения объема инвестиций и повышения их эффективности. Объективная экономическая оценка инвестиций – одна из необходимых предпосылок их надежности и эффективности.

Целью контрольной работы по курсу «Экономическая оценка инвестиций» является изучение некоторых теоретических и практических аспектов данной дисциплины. В данной контрольной работе рассматривается теоретические аспекты начисления и области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты – два основных метода исчисления дохода от инвестирования. Знание простых и сложных процентов обязательно для инвестора, поскольку иметь дело с ними придется едва ли не ежедневно.

В практической части приведен расчет экономической эффективности инвестиционного проекта по бурению скважины.

При написании контрольной работы была использована учебная литература для студентов высших учебных заведений, а также учебно-методические пособия, официальные Интернет-ресурсы.

1 Теоретическая часть

1.1 Понятие и расчет простых и сложных процентов

Процентный доход – это то, что составляет основу всех доходов инвестора. При этом начисление процентов на инвестированные средства осуществляется как в форме простых процентов, так и в форме сложных процентов.

Когда речь идет об инвестировании в облигации или депозитные сертификаты, выплата процентов производится исключительно на остаток инвестированных средств, находящихся на депозите в течение определенного периода. При этом начисления процентов на суммы процентов, накопленных в промежуточные периоды, не происходит. Другими словами, проценты начисляются на первоначальную сумму вклада.

В силу этого, начисление процентов производится равными частями в конце каждого периода. Например, инвестировав 100 долларов под 7% в депозитный сертификат сроком на 5 лет с ежегодной капитализацией, в конце каждого года (в течение пяти лет) инвестор будет получать процентный доход в размере 7 долларов. Такой метод начисления процентного дохода и называется простыми процентами.

Формула наращения простых процентов. Наращение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV · r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

FV = PV (1 + r · n). (1)

Основной отличительной особенностью сложных процентов от простых заключается в том, что сложные проценты предусматривают начисление дополнительного дохода не только на сумму вклада, сформированную в начале периода, но и на размер начисленного за этот период процентного дохода. Именно это отличие и делает сложные проценты исключительно мощным механизмом наращивания доходов.

Формула наращения сложных процентов. Наращение по схеме сложных процентов означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

Чем чаще производится начисление процентов, тем выше доходность. Начисление процентов раз в полгода исходя из ставки в 5% годовых обеспечит больший доход, чем начисление тех же 5% раз в год.

При одном и том же значении процентной ставки:

1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

Области применения простых и сложных процентов

Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных операциях, так и одновременно. Области применения простых и сложных процентов можно разделить на три группы:

1) операции с применением простых процентов;

2) операции с применением сложных процентов;

3) операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

1. Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже — долгосрочные операции.

Рис.1 Области применения простых процентов

При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:

FV = PV (1 + f · r), (3)

FV = PV (1 + t · r / Т), (4)

t — срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т — расчетное количество дней в году.

При долгосрочных операциях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

FV = PV (1 + r · n), (5)

где n — срок вложения денежных средств (в годах).

2. Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

Рис.2 Области применения сложных процентов

В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m = 2);

2) поквартальным (m = 4);

3) ежемесячным (m = 12);

4) ежедневным (m = 365 или 366);

5) непрерывным (m→∞).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV (1 + r / m)·n·m, (7)

где PV — исходная сумма;

г — годовая процентная ставка;

n — количество лет;

m — количество внутригодовых начислений;

FV — наращенная сумма.

Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

(8)

где e = 2,718281 — трансцендентное число (число Эйлера);

е δn — множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

δ — специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

n — количество лет.

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r / m)·n·m > FV = PV (1 + r)·n. (11)

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Таким образом, первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллюстрирует рисунок 3.

Рис.3 Классификация процентных ставок при внутригодовом начислении

Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (rе).

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

FV = PV (1 + r / m)·n·m. (13)

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

где rе — эффективная процентная ставка; r — номинальная процентная ставка; m — количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m):

1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную степень:

FV = PV (1 + r)·n + f, (16)

где f — дробная часть срока вложения денежных средств.

Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления сложных процентов с целым числом лет и формулу начисления простых процентов для краткосрочных операций:

FV = PV (1 + r)·n · (1 + f · r), (17)

FV = PV (1 + r)·n · (1 + t · r / Т). (18)

Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты. Но с экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов.

Практическая часть

Исходные данные для расчета ГТМ по бурению скважины

Наращение инвестиций по схеме простых процентов

4.1 Вычисление наращенной суммы на основе сложных декурсивных процентов

1. Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово- кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, приме няют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоян ной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последователь ное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Читать еще:  Положение об инвестиционном отделе

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при усло вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:

P первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

п — срок, число лет наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит . К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Проценты за этот же срок в целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрес сии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров — i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i – ставка за полугодие, то п число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) — (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем . В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по пери одам.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью приме нения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множи тель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где — последовательные значения ставок; — периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

, (4.7)

где – срок ссуды, а — целое число лет, b дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п

Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисления одна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простым и сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что бы коэффициенты наращения были равны величине n :

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы для удвоения капитала имеют вид:

а)

б)

6. Номинальная и эффективная ставка процентов. Годовая ставка при начислении процентов несколько раз в год называется номинальной ставкой j , кроме того, указывается число периодов начисления процентов в год m , тогда сумма вычисляется по формуле:

(4.8)

· Пример 4.6

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена или по общей формуле или по общему методу:

где ml –число полных периодов начисления;

а – дробная часть одного периода начисления.

· Пример 4.7

7. Эффективная ставка. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредито в целом за год, т.е. она показывает, какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, что бы получить такой же финансовый результат, как и при m разовом начислении процентов по ставке j / m . Эта ставка определяется из равенства:

если первоначальная сумма периода наращения и множитель наращения равны, тогда

(4.9)

Из этого равенства можно определить номинальную ставку:

(4.10)

· Пример 4.8

Эффективную ставку можно рассчитать, зная наращенную сумму и величину первоначального вклада:

(4.11)

Срок ссуды определяется по формулам:

(4.12)

Наращивание и дисконтирование;

Введение

Эффективная деятельность предприятий в долгосрочной перспективе, обес­печение высоких темпов развития, повышение конкурентоспособности в услови­ях рыночной экономики в значительной мере определяется уровнем их инвести­ционной активности и диапазона инвестиционной деятельности. Реализация инве­стиционных программ позволяет совершенствовать производство, улучшать каче­ство продукции, обеспечивает рост производительность труда и в конечном итоге — выживаемость и развитие предприятий в современных условиях. Вот почему так — важно правильно распорядиться имеющимися инвестиционными ресурсами, уметь выбрать лучший вариант осуществляемых вложений, рассчитать их эффек­тивность и прогнозировать последствия этих вложений. Любые решения в облас­ти инвестиций опираются на соответствующий аппарат количественной оценки целесообразности принятия того или иного инвестиционного проекта, формирования оптимальной инвестиционной программы.

Осуществление инвестиционной деятельности на предприятии требует определенных знаний теории, а также практических навыков в области инвестиро­вания.

Цель данной дисциплины — дать будущим специалистам знания, кото­рые будут использованы ими в практической деятельности при подготовке и принятию решений по комплексу вопросов, связанных с осуществлением ин­вестиционной деятельности

Задачи дисциплины дать:

• теоретические знания в области методологии и методики экономической оценки инвестиций;

• сформировать практические навыки проведения расчетов показателей экономической эффективности инвестиций и обоснования выбора альтернативных вариантов инвестиций;

• обеспечить обучение новейшим методологическим разработкам в области анализа, планирования и оценки инвестиций в условиях рыночной экономики.

В результате изучения дисциплины «Экономическая оценка инвести­ций» студент должен получить необходимые теоретические и практические знания, умения и навыки, а именно:

— иметь представления об экономическом содержании инвестиций, их ос­новных видах, источниках финансирования инвестиционной деятельности и основах экономической оценки инвестиций;

• основные принципы и механизмы реализации инвестиционной политики государства;

• содержание и классификацию инвестиционных проектов, стадии их реа­лизации;

• основные принципы расчета и обоснования экономической оценки инве­стиций;

• основные методы оценки эффективности инвестиций.

Тема № 1 — Основы финансовой оценки денежных потоков:

Теоретическая часть

В процессе разработки инвестиционных проектов осуществляются различного рода финансово-экономические расчеты, связанные с потоками денежных средств в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени.

Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным периодам времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что она с течением времени изменяется с учетом возможного получения дохода; в качестве последнего обычно выступает норма процента.

В практике применяются различные виды процентных ставок. Одно из основных их отличий связано с выбором исходной базы для начисления процен­тов. Ставки процентов, применяемые к одной и той же начальной сумме на про­тяжении всего срока ссуды, называются простыми процентными ставками, а к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами — сложными про­центными ставками.

Читать еще:  Проблемы иностранных инвестиций в российскую экономику

Процентные ставки могут быть, в зависимости от их постоянства во време­ни: постоянными или переменными («плавающими»).

Концепция неравномерности потоков денежных средств, относящихся к разным моментам времени, является основой анализа экономической эффектив­ности таких операций. Используются два метода корректировки денежных пото­ков — метод наращивания капитала и метод дисконтирования.

Наращивание (компаундинг) — это процесс увеличения первоначальной суммы денежных средств в результате начисления процентов. Используя метод наращивания можно определить величину денежных средств через некоторый пе­риод времени — ее будущею стоимость (S).

Первоначальная сумма Будущая стоимость

Наиболее простыми видами долгосрочных финансовых операций являются разовые платежи (выдача и погашение кредита и депозита).

Процесс наращивания с начислениями описывается арифметической про­грессией, и определяется по формуле:

S = P(1+n*i) (1)

где S – наращенная сумма денежных средств;

P – первоначальная сумма денежных средств;

n – период времени;

i – ставка процента.

Практика начисления простых процентов. Начисление простых процен­тов обычно используется в двух случаях: 1) при заключении краткосрочных кон­трактов (предоставление краткосрочных кредитов и т. д.), срок которых не пре­вышает года (n 1 *(1+0,3) 2 =1,664

отсюда наращенная сумма долга составит:

Пример 8.Организации в банке предложили (предоставили) ссуду в размере 400 тыс. руб. на 28 месяцев под 30% годовых на условиях годового начисления процента. Необходимо определить будущую стоимость ссуды.

В соответствии с первой схемой будущая стоимость равна:

S=400(l+0,3) 2 *(l+0,3*0,33)=742,92 тыс.руб.

По второй схеме

S = 400(1+0,3) 2,33 =737,14 тыс. руб.

Пример 9.Определить современную (текущую) величину 100 тыс. руб. кото­рые должно получить предприятия через 3 года с момента инвестирования, исхо­дя из ставки 10% годовых.

Р= 100000*(1 + 0.1) -3 =75,0 тыс. руб.

Пример10.Предприятие сдает в аренду помещение сроком на 3 года. Аренд­ные платежи в размере 40 тыс. руб. вносятся арендатором ежегодно в конце года в банк на счет предприятия. Банк на внесенную сумму начисляет проценты из рас­чета 20 % годовых. Определить сумму, полбенную предприятием в конце срока аренды при условии, что деньги со счета не изымались.

Используя формулу 16 для определения наращенной сум­мы, получим, что через 3 года сумма всех арендных платежей, помещенных в банк, составит:

Пример 11. Предприятие планирует через 3 года проинвестировать проект, стоимостью 300 тыс. руб.; для этого оно создает соответствующий фонд (пред­приятие имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 82.4 тыс. руб., по­мещая их в банк под 20% годовых). Какая сумма потребовалась бы предприятию для создания фонда в 300 тыс. руб., ели бы оно поместило ее в банк одномомент­но на 3 года под 20% годовых.

Воспользуемся формулой для расчета современной (текущей) величины ренты и получим следующий результат:

Задания и задачи

Задача 1

Определить сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.

Задача 2

Сумма в размере 50 000 руб. внесена в банк на 5 лет под 10% годовых, начисление производится ежеквартально. Определить наращенную сумму (при использовании сложных процентов).

Задача 3

Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально, исходя из номинальной ставки 25% годовых. При этом внесён вклад в размере 50 000 руб. на четыре года.

Задача 4

Определить современную (текущую) сумму 300 000 руб., которые будут получены через четыре периода, при условии, что стоимость использования денег 15% годовых.

Задача 5

Определить какую сумму необходимо вложить, чтобы через 5 лет получить 400 000 руб., при ставке:

Задача 6

В течение 5 лет на расчётный счёт в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляют сложные проценты по:

а) годовой ставке – 20%;

б) ежеквартальной ставке – 4%;

Требуется определить сумму на расчётном счёте к концу указанного периода.

Задача 7

Компания АВС будет получать по 20 млн. руб. в год в течение 4 периода. Процентная ставка 10% годовых. Вычислить текущую стоимость денег.

Задача 8

Предположим, что стоимость денег 10% годовых. Мы можем заплатить долг, при этом у нас есть выбор: заплатить 10 000 руб. сегодня, или заплатить сумму Х через 5 лет. Чему равна максимальная величина Х, чтобы нам было выгодно платежи по ней отсрочить на 5 лет.

Задача 9

Организация получила ссуду на 3 года в размере 600 тыс. руб. под простые проценты. Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год 25%, в каждом последующем квартале ставка повышается на 1%. Требуется определить наращенное значение долга.

Задача 10

Организации в банке предложили ссуду в размере 500 тыс. руб. на 36 месяцев под 24% годовых на условиях годового начисления процента. Необходимо определить будущую стоимость ссуды.

Задача 11

Компания создаёт фонд путём помещения в банк суммы в размере 2 млн. руб. Взносы в банк производятся по схеме обычного аннуитета (ренты):

а) ежеквартально, проценты банком начисляются один раз в год;

б) ежеквартально, проценты банком также начисляются ежеквартально;

Определить величину фонда в конце третьего года, при условии, что банк проценты начисляет по ставке 18% годовых.

Задача 12

Организация планирует создание в течение 5 лет фонда накопления в размере 300 тыс. руб. На эти цели ежегодно необходимо отчислять сумму в размере 40,3 тыс. руб. Какая сумма потребовалась бы организации на создание фонда в 300 тыс. руб., если она поместила их в банк на пять лет под 20% годовых с ежеквартальным начислением процентов на рентные платежи.

Задача 13

Необходимо определить наращенную сумму платежей за весь период ренты и современную стоимость потока платежей на начало срока при условии, что первоначальный платёж составит 100 тыс. руб. под 30% годовых, который с каждым кварталом увеличивается на 10%; срок ренты постнумерандо – 10 лет.

Задача 14

Банк «Империал» согласился ссудить компании «Чистый воздух» 300 тыс. руб. в ответ на обещание вернуть через 5 лет 750 тыс. руб. Какую годовую процентную ставку установил банк для компании.

Контрольные вопросы

1. Концепция временной ценности денежных средств.

2. Операции дисконтирования и наращивания капитала.

3. Формулы расчета текущей и будущей стоимости денежных средств.

4. Эффективная годовая процентная ставка

5. Понятие и виды аннуитетов.

6. Формулы расчета текущей и будущей стоимости аннуитета.

Список литературы

1. Анышин В.М. Инвестиционный анализ. – М.: Дело, 2004. – 280с.

2. Ендовицкий Д.А., Инвестиционный анализ в реальном секторе экономики. -М.: Финансы и статистика, 2007. – 352с.

3. Г.С. Староверова, А.Ю. Медведев, И.В. Сорокина. Экономическая оценка инвестиций. Учебное пособие. — М.: КноРус, 2010. — 312с.

Тема № 2 — Анализ и оценка денежных по­токов инвестиционного

Простые и сложные проценты

Наращение может осуществляться по схеме простых и слож­ных процентов.

Формула наращения простых процентов (simple interest). Нара­щение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV • r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

Формула наращения сложных процентов (compound interest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очеред­ной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвести­рованного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно оп­ределить по формуле:

При одном и том же значении процентной ставки:

1) темпы наращения сложных процентов выше темпов нара­щения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов на­ращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных опера­циях, так и одновременно. Области применения простых и слож­ных процентов можно разделить на три группы:

1) операции с применением простых процентов;

2) операции с применением сложных процентов;

3) операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

1. Областью применения простых процентов чаще всего явля­ются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с од­нократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, век­сельные кредиты) и реже — долгосрочные операции.

При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается го­довая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денеж­ных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процент­ной ставки имеет следующий вид:

FV = PV (1 + t • r / Т),

t — срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т — расчетное количество дней в году.

При долгосрочных операциях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

где n — срок вложения денежных средств (в годах). ,

2. Областью применения сложных процентов являются дол­госрочные операции ( со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества вы­плат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m = 2);

Читать еще:  Валовые внутренние инвестиции это

2) поквартальным (m = 4);

3) ежемесячным (m = 12);

4) ежедневным (m = 365 или 366);

5) непрерывным (m -» ?).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, еже­месячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV (1 + r / m) nm ,

где PV — исходная сумма;

г — годовая процентная ставка;

n — количество лет;

m — количество внутригодовых начислений;

FV — наращенная сумма.

Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

где: e = 2, 718281 — трансцендентное число (число Эйлера);

е ? n — множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

? — специальное обозначение процентной ставки при непрерыв­ном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

n — количество лет.

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сро­ке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использова­ния обычной формулы начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r / m) nm > FV = PV (1 + r) n .

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Таким образом, первоначально заявленная годовая процент­ная ставка для начисления сложных процентов, называемая но­минальной, не отражает реальной эффективности сделки. Про­центная ставка, отражающая фактически полученный доход, на­зывается эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллю­стрирует рисунок.

Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании мож­но рассчитать эффективную процентную ставку (rе).

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

FV = PV (1 + r / m) nm .

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

где rе — эффективная процентная ставка; r — номинальная процентная ставка; m — количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от коли­чества внутригодовых начислений (m):

1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых со­ставляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную сте­пень:

FV = PV (1 + r) n + f ,

где f — дробная часть срока вложения денежных средств.

Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления слож­ных процентов с целым числом лет и формулу начисления про­стых процентов для краткосрочных операций:

Наращение капитала по схеме простых процентов

Фактор времени в финансово-экономических расчетах

Финансовая математика это раздел математики, в котором изучаются модели и алгоритмы финансовых расчетов. Предметом изучения здесь выступают функциональные зависимости между параметрами коммерческих сделок или финансово-банковских операций и разработанные на их основе методы решения финансовых задач.

Объектом изучения финансовой математики является финансовая операция, в которой финансовые вычисления возникают всякий раз, когда в условиях сделки (контрактах) прямо или косвенно присутствуют временные параметры. Например, даты начала и окончания сделки, сроки выплат, периодичность поступления денежных средств, отсрочка платежей и так далее. При этом фактор времени зачастую играет более важную роль, чем размеры денежных сумм, поскольку именно он определяет конечный финансовый результат.

Хорошо известный всем афоризм «время – деньги» имеет под собой реальную основу. Равные по абсолютной величине денежные суммы в разные периоды времени оцениваются поразному. Сегодняшние деньги ценнее, больше, тех же сумм, полученных в будущем. Почему же рубль сегодня ценнее рубля завтра?

· Во-первых, деньги являются активом, который способен приносить доход. Например, рубль, положенный на сберегательный депозит в банке приносит доход в виде процентных денег. Профессионально сделанные инвестиции в реальное производство или ценные бумаги также позволяют в перспективе не только вернуть затраченные средства, но и получить весомый добавочный эффект.

· Во-вторых, покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Сегодня на рубль можно купить товаров и услуг больше, чем на этот же рубль завтра.

· В-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль в руке уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра в руке, – еще вопрос.

Итак, в основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег: денежная сумма, полученная сегодня, больше, ценнее той же суммы, полученной завтра. Поэтому нельзя сравнивать между собой или суммировать денежные суммы, если они относятся к разным моментам времени.

Наращение капитала по схеме простых процентов

Деньги, приносящие доход, называются капиталом, а сам этот процесс – капитализацией.

Будем использовать следующие обозначения.

Р – исходный (начальный) капитал

S – наращенный (конечный) капитал

– срок финансовой операции

Простейшей финансовой операцией является кредитование, суть которого заключается в однократном предоставлении или получении капитала сусловием возврата через время наращенной (большей) суммы

Под наращенной суммой денежных средств понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока финансовой операции.

Величина называется доходом или процентными деньгами.Эффективность или доходность операции определяется темпом прироста денежных средств за период времени п, который равен отношению дохода на вложенный капитал. Темп прироста обычно выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой или нормой доходности за этот период времени

Если период времени – один год, то называется годовой процентной ставкой.

Пример.Предприниматель инвестировал 2 млн. руб. с условием возврата через 6 месяцев 2,2 млн. рублей. Определить доходность инвестиции.

Решение. ,

Существуют две схемы наращения капитала:

· Схема простых процентов

· Схема сложных процентов

Схема простых процентов предполагает, что сумма, на которую происходит начисление процентов, остается неизменной в течение всего срока финансовой операции. Говорят, что начисление процентов происходит на одну и ту же базу.

Пусть срок финансовой операции составляет п единичных периодов. В качестве периода может рассматриваться любой интервал времени: год, полгода, квартал, месяц и так далее, – процентная ставка за этот период. Тогда начисленные проценты за первый период равны а наращенная сумма за первый период: За второй период начисленные проценты также равны , так как начисление все время происходит на одну и ту же первоначальную сумму, а наращенная сумма за два периода равна . Рассуждая аналогично, получаем наращенную сумму за ппериодов:

Формула (1.1) называется формулой наращения по простым процентам.

Множитель является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов (дохода) :

где

Пример.На счет в банке помещено 120 тыс. рублей сроком на 3 года. Банк начисляет простые проценты по ставке 12% годовых. Найти сумму на конец срока финансовой операции и доход.

Решение. Найдем наращенную величину 120 тыс. руб. за 3 года:

Заметим, что наращенные суммы , , , … , за один, два, три, …, ппериодов соответственно, образуют арифметическую прогрессию, с первым членом, равным , последним , разностью

Простые проценты обычно используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты, начисляемые за период, выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.

В финансовых расчетах обычно используют годовую процентную ставку, поэтому если срок финансовой операции составляет менее года, то процентную ставку необходимо скорректировать на этот срок, то есть выяснить какую часть процента следует уплатить. Для этого величину п выражают в виде дроби:

гдеп – срок финансовой операции в годах (измеренный в долях года),

K – число дней в году,

t – срок операции в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базыК и способом измерения срока финансовой операции в дняхt.

Часто за базу измерения времени берут действительное число дней в году: 365 (не високосный год) или 366 (високосный год). В этом случае говорят, что вычисляют точный процент. В отличие от него обыкновенный или коммерческий процент получают, когда за базу берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). Определение срока финансовой операции в днях также может быть точным или приближенным.В первом случае вычисляют фактическое число дней между датами, во втором продолжительность срока операции определяется числом месяцев и дней, при этом все месяцы считаются равными и каждый месяц содержит 30 дней. В обоих случаях дата начала финансовой операции, и дата ее окончания считается за один день.

Пример. Найти точное и приближенное число дней между датами 18 апреля и 3 ноября того же года, которые являются датами начала и окончания финансовой операции соответственно.

Решение. Используем таблицу порядков номеров дней в году (прил. 1). Из таблицы: 18 апреля – это 108-й день года, а 3 ноября – 307-й день. Следовательно, точное число дней равно: Найдем приближенное число дней. Займем 30 дней от 11 месяца (ноября), он станет 10-м, а к 3-ему числу добавим 30 дней, тогда приближенное число дней вычисляется:

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector